Variété riemannienne

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Une variété riemannienne est une variété différentielle ayant une structure supplémentaire permettant de définir la longueur d'un chemin entre deux points de la variété.

Sommaire

1 Définitions et exemples élémentaires
2 De la connexion aux géodésiques
3 Courbure
- 3.1 Courbure sectionnelle
- 3.2 Courbure et topologie
4 Bibliographie
- 4.1 Livres
- 4.2 Liens internet

[modifier] Définitions et exemples élémentaires

[modifier] Définition formelle

Une variété riemannienne est la donnée d'une variété différentielle $M$ et, en chaque point $m$ , d'une forme quadratique définie positive $g m$ sur l'espace tangent $T m$ avec des hypothèses de régularité supplémentaires. Les espaces tangents $(T m M, g m)$ sont des espaces euclidiens. Les hypothèses de régularité s'énoncent de deux manières équivalentes :

L'application $m\mapsto g_m$ est une section globale de classe $C k$ du fibré vectoriel $S 2 T * M$ .
Pour tout champ de vecteurs $X, Y$ de $M$ , l'application $m\mapsto g_m(X_m,Y_m)$ est de classe $C k$ .

La donnée $g$ est appelée métrique riemannienne sur $M$ . Les métriques riemanniennes existent sur toute variété différentielle (paracompacte) et forment un cône convexe fermé de $Γ S 2 T * M$ (avec des topologies raisonnables).

Si $(M, g 1)$ et $(N, g 2)$ sont deux variétés riemanniennes, une isométrie locale $f:M\rightarrow N$ est une application différentiable vérifiant $f * g 2 = g 1$ . Autrement dit, les différentielles $df(x):T_xM\rightarrow T_xN$ sont des applications linéaires isométriques. Par le théorème d'inversion locale, toute isométrie est un difféomorphisme local.

Une isométrie est un difféomorphisme et une isométrie locale.

[modifier] Longueur et distance.

Les variétés riemanniennes sont les exemples les plus élémentaires de variétés de Finsler. Une métrique riemannienne $g$ sur une variété différentielle connexe $M$ définit sur chaque espace tangent une norme (de Banach), donnée par :

$\|v\|=\sqrt{g(v,v)}$

Par définition, la longueur d'une courbe $C 1$ par morceaux γ: [a, b] → M est définie par :

$L(\gamma) = \int_a^b \|\gamma'(t)\|\;dt$

La longueur d'une courbe est invariante par reparamétrage régulier.
La longueur du concaténé de deux courbes $C 1$ par morceaux est la somme des longueurs.

Pour $x,y\in M$ , on définit :

$d(x,y)=\inf L(\gamma)$

où l'infinimum porte sur toutes les courbes $C 1$ par morceaux d'origine $x$ et d'extrémité $y$ .

Comme les notations le laissent suggérer, $d$ est une distance sur $M$ appelée distance riemannienne. Il est à remarquer que cette dernière redéfinit la topologie de $M$ .

[modifier] Exemples fondamentaux

[modifier] Les sphères

[modifier] L'espace hyperbolique

Disque de Poincaré : L'espace hyperbolique $(H n, g)$ est le disque unité de $\mathbb{R}^n$ , muni de la métrique :

$g=4\sum_{i=1}^n \frac{dx_i^2}{(1-\|x\|^2)^2}$

Demi-plan de Poincaré : Ce modèle du plan hyperbolique est donné par la métrique définie sur le demi-plan supérieur $\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{n-1}$ :

$g=\sum_{i=1}^n \frac{dx_i^2}{x_1^2}$

Une isométrie explicite du disque unité sur le demi-plan supérieur est donnée par l'inversion de pôle $t=(-1,0,\times,0)$ :

$x\mapsto t+2.\frac{x-t}{\|x-t\|^2}$

Remarque : L'espace hyperbolique $H 2$ intervient en arithmétique, domaine dans lequel on utilise habituellement le modèle du demi-plan supérieur. Toutefois, en géométrie, les goûts sont très largement partagés : le modèle du disque de Poincaré offre l'avantage d'un meilleur graphisme dans les figures. Il existe d'autres modèles (comme le modèle de l'hyperboloïde), peu utilisés en pratique.

Se référer à la géométrie hyperbolique pour un exposé plus complet sur le sujet.

[modifier] De la connexion aux géodésiques

[modifier] Connexion de Levi-Civita

Sur une variété riemannienne $(M, g)$ , il existe une unique connexion sans torsion telle que, pour tout champ de vecteurs $X, Y, Z$ :

X . g (Y, Z) = g (D X Y, Z) + g (Y, D X Z)

Cette connexion est appelée la connexion de Levi-Civita de $(M, g)$ , ou la connexion canonique.

Si $f:N\rightarrow M$ est une application différentiable, un champ de vecteurs le long de f est une section globale du fibré vectoriel $f * T M$ , soit donc une application $X:N\rightarrow TM$ telle que, pour tout point $n\in N$ , on a : $X(n)\in T_{f(n)}M$ . On note $\Gamma\left[f^*TM\right]$ l'espace des champs de vecteurs le long de $f$ .

[modifier] Équations des géodésiques

$\frac{d^2x^i}{dt^2}+\sum \Gamma^i_{jk}\left[c(t)\right]\frac{dx^k}{dt}\frac{dx^l}{dt}=0$

[modifier] Théorème de Hopf-Rinow

Les propriétés suivantes sont équivalentes :

Pour tout point $m$ , l'application $exp m$ est définie sur $T m M$
La variété $(M, g)$ est géodésiquement complète, ie : les géodésiques sont définies sur $\mathbb{R}$ .
L'espace $M$ est complet pour la distance riemannienne.
Les boules fermées et bornées sont compactes.

[modifier] Courbure

[modifier] Courbure sectionnelle

[modifier] Courbure et topologie

[modifier] Bibliographie

[modifier] Livres

Sylvestre Gallot, Dominique Hulin, Jacques Lafontaine ; Riemannian Geometry [détail des éditions]
(en) Jürgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis [détail des éditions]
Gerard Walschap, Metric structures in differential geometry, Springer.

[modifier] Liens internet

Pierre Pansu. Cours de géométrie différentielle. Niveau : Master 2.

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